В случае случайных переменных функции распределения результатов (плотности распределения вероятностей) могут быть получены из исходных плотностей распределения вероятностей. Так, плотность распределения вероятностей суммы двух независимых случайных переменных, имеющих плотности распределения вероятностей соответственно р1 и р2, определяется как [1]

, (1)

. (2)

Во многих случаях риск является функцией как статистических параметров, так и нечетких. В силу различия теорий, используемых для описания этих двух типов параметров, (теория вероятностей и, например, теория возможностей) задача их агрегирования становится нетривиальной. Для ее решения необходимо преобразование параметров к одному типу. Это предполагает трансформирование либо плотности распределения вероятностей р в распределение возможностей r, либо наоборот r в р. Причем, при подобных преобразованиях должно сохраняться количество информации (неопределенности) в распределениях р и r. С использованием результатов работы [4] разработаны программные продукты для преобразования распределения вероятностей р в распределение возможностей r а также r в р. В качестве меры неопределенности использована максимальная величина шенноновской энтропии среди всех распределений вероятностей, совместимых с данной функцией доверия

AU(Bel)=max{pxlog2px},(3)

где AU(Bel) - количество неопределенности, содержащееся в функции доверия, px - функция распределения вероятностей, максимум берется среди всех { px }xОX , так что px[0,1] для всех xОX,

px=1, и для всех АОX, Bel(A) px. X={x1,x2,...,xn} - ограниченное непустое универсальное множество c мощностью P(X), А - подмножество множества X.

N(m) =m(A)log2кAк, (4)

m:P(X)®[0,1], так чтоm(A)=1.(5)

Величина m(A) выражает степень доверия в утверждении, которое представлено множеством А, но она не включает возможную степень доверия в дополнительных утверждениях, представленных различными подмножествами А. То есть, m(A) выражает степень доверия, которая соответствует точно множеству А, а не степень полного доверия, соответствующего А. Чтобы получить последнее, необходимо к m(A) добавить значения m(В) для всех подмножеств В множества А. Полное доверие, соответствующее А, выражается формулой Bel(A) = m(A). кA кв формуле (4) есть размерность множества А. В теории возможностей мера неспецифичности может быть выражена через распределение возможностей r(r1,r2,...,rn) формулой

N(r) =ri log2 (i /(i-1)). (6)

В зависимости от контекста задачи выбирается решение, минимизирующее или максимизирующее значение r. Например, если распределение возможностей будет использовано для принятия решений, целесообразно стремиться к максимальной точности - наиболее характерному решению (минимальная неспецифичность). В случаях, когда распределение возможностей будет использовано для последующего анализа, ограничения, накладываемые на него, должны быть лишь необходимыми и, следовательно, целесообразно использовать максимально неспецифическое решение.

В качестве примера рассмотрим получение оценки риска перевозки ядерных энергетических установок из Москвы до ст. Тюратам (Казахстан). Использованы оценки по происшествиям, приведенные в работе [5]. Предполагается, что возможность схода состава с рельсов описывается распределением возможности r1 треугольной формы с r1min = 0.5ґ10-3, r1mean = 0.425ґ10-2, r1max = 1.7ґ10-2. В качестве другого параметра нами выбрана вероятность террористической акции на маршруте следования. Предполагается, что плотность распределения вероятностей p2 для этого параметра подчиняется распределению Симпсона с p2min = 3.24ґ10-3, p2mean = 1.08ґ10-2, p2max = 1.84ґ10-2. Плотность распределения вероятностей p2 с использованием разработанного программного продукта преобразовывалась в распределение возможностей r2(max), соответствующее максимальной неспецифичности. Это распределение приведено на рис. 1.

Оценка результирующего риска транспортного инцидента, который в нашем случае включает риск схода с рельсов и риск террористической акции на маршруте следования, представлена результирующей функцией распределения возможностей r. Эта функция получается путем агрегирования функций распределения возможностей r1 и r2(max). В качестве оператора агрегирования информации используется t-конорма Лукасевича SL[r1, r2(max)] = min[1, r1+ r2(max)]. Результирующая функция распределения возможностей транспортного инцидента приведена на рис. 2. Ее анализ показывает, что наиболее ожидаемым значением является 0.50ґ10-2, возможный разброс 0.5ґ10-3 - 1.84ґ10-2.

Для оценки показателя размытости используется метрический подход [2]: определение расстояния d между нечетким множеством, соответствующим результату, и максимально размытым множеством А0.5

d= (2/n) ф r(xi) - r0.5(xi) ф(7)

1. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения, М, 1984, т.2., 752с.